دراسة ميدانية حول حل المسائل غير الروتينية في الرياضيات

بسم الله الرحمن الرحيم

المحتويات
الموضوع                                             الصفحة
المقدمة     
محددات الدراسة     
عينة الدراسة وإجراءات العمل     
تحليل أداء الطلبة     
الاستنتاجات والتوصيات     
المراجع     
الجداول     

فهرس الجداول
رقم الصفحة     الجدول     رقم الجدول
     اتجاهات الطلاب نحو حل المسألة (قبل الاختبار)     1
     اتجاهات الطلاب نحو حل المسألة(بعد الاختبار)     2
     تقويم حل الطلاب للمسائل     3
     العمليات ما وراء المعرفية التي يستخدمها الطلاب     4
     الاستراتيجيات الخاصة المستخدمة من الطلاب     5
     مسائل الاختبار     6


المقدمة
تعرف المسألة الرياضية ببساطة على أنها مشكلة تواجه الفرد وبحاجة إلى حل أو سؤال بحاجة إلى جواب وفي كلتى الحالتين تكون المسألة موقف جديد ومميز يواجه الفرد ولا يكون له عند الفرد حل جاهز في حينه.
ويتضح من هذا التعريف أنه ليس كل سؤال يحتاج إلى إجابة هو مسألة فاعتبار سؤال ما مشكلة أو مسألة يعتمد على المعرفة التي يمتلكها الفرد، وبناء على ذلك فإنه يمكن أن يشكل السؤال مسألة عند فرد قد لا يكون ذلك عند آخر وما هو مسألة عند فرد اليوم قد لا يكون كذلك في الغد، وقد لا يشكل الموقف بالنسبة لإثنين يمتلكا نفس الخبرات مسألة لكليهما.
فالشروط الواجب توفرها في المسألة:
1.     وجود شخص يتصدى للمسألة نحو هدف محدد واضح لتحقيقه.
2.     وجود عائق أمام الشخص يحول بينه وبين حل المسألة لا يزول هذا العائق جراء ردود فعل الشخص العادية.
3.     أن يكون التحدي لدى شخص للوصول إلى تحقيق هدفه، ضمن إمكاناته العقلية وخبراته التعلمية، حتى يتمكن من رؤية المشكلة التي تواجهه وتحديد معالمهان لذلك يتبين له السبل والوسائل التي يراها فرضيات أو حلول.
ويأتي حل المسألة في قمة هرم النتاجات التعلمية حيث أن المسألة يعد من العمل الذي يشجع المعلم به طلابه على قبول أسئلة التحدي فيصبحوا بارعين في اتخاذ القرارات في حياتهم.
وحل المشكلات ليس بالموضوع الجديد في عملية التعليم والتعلم، فالعالم جون ديوي يربط التفكير المنتج بالطريقة العلمية المطبقة في حل المشكلات الإنسانية الممتدة من المشكلات البسيطة في الحياة اليومية إلى المشكلات الاجتماعية المعقدة والمشكلات المجردة، وكذلك فإن حل المشكلات البسيطة في الحياة اليومية إلى المشكلات الاجتماعية المعقدة والمشكلات المجردة، وكذلك فإن حل المشكلات يأتي ك؟؟ نوع من أنواع التعلم عند جاذبية، كما أن مبدأ برنرو الشهير، الذي ينص على أن المهم في عملية التعلم ليس النتيجة المكتشفة فقط، بل إن الأهم سلسلة العمليات المؤدية إلى هذه النتيجة، يتفق تماماً مع عملية حل المشكلات، أما وليم برونل فيؤكد على أن أحد عوامل التعليم الجيد، هو إلمام المدرسين بكيفية تفكير التلاميذ عندما يواجهون مواقف أو مشكلات غير مألوفة لديهم، ولذلك بدأ الرأي العام في الآونة الأخيرة يتفق على أن حل المشكلات يجب أن يكون هو الهدف الأساسي لتدريس الرياضيات.
تعتبر عملية حل المشكلات من أعقد الأنشطة العقلية إن لم تكن أعقدها، الأمر الذي جعل الذكاء يعرف أحياناً على أنه حل المشكلات ولذلك يعتبر حل المشكلات نشاطاً عقلياً عالياً، ويتضمن من العمليات العقلية المتداخلة مثل التخيل والتصور والتذكر والتجديد والتحليل والتركيب وسرعة البديهة والاستبصار بالإضافة إلى المعلومات والمهارات والقدرات العامة والعمليات الانفعالية مثل الرغبة والدافع والملل.
وعملية حل المشكلات ليست ببساطة تطبيق المعارف أو المهارات أو الخبرات السابقة، فهو أبعد من ذلك بكثير، فهي تتضمن – فيما تتضمن- تنسيق أو تطوير معظم أو كل العوامل السابقة لينتج عن ذلك شيء من الإبداع والذي لم يكن موجوداً من قبل لدى الشخص الذي يقوم بالحل.
ويتفق مع ذلك كوني وآخرون من حيث أن حل المشكلات عملية معقدة لأن العديد من الجوانب أو الأبعاد المتداخلة مثل الدافعية والاتجاهات واللغة والمنطق وغيرها، ولذلك وكما يقول بوليا أن حل المشكلة نوع من الفن العملي مثل السباحة والتزلج أو العزف على البيانو.
ويتضح من ذلك أن عملية حل المشكلات عملية معقدة لأن لها العديد من الجوانب ويؤثر فيها العديد من العوامل منها السلوكي ومنها المعرف ومنها المعرفي الذي يرتبط بعمليات التفكير العليا.
هذا ونرى أن حل المشكلات يحتاج أيضاً من الفرد أن يركز في عملية حل المشكلة ويحدد خطوات واضحة يتبعها في الحل وان يكون له القدرة على اختيار الاستراتيجية المناسبة للحل وكذلك لا بد من عملية التدريب على حل المشكلات حتى يتمكن من الحل.

أهمية الدراسة:
جاءت هذه الدراسة كمحاولة للإجابة عن الأسئلة التالية:
1.     ما مدى استخدام الطلاب لاستراتيجية بوليا العامة؟
2.     ما مدى إدراك الطلاب لأهمية استراتيجية بوليا العامة في الوصول إلى الحل؟
3.     ما هي الاستراتيجيات الخاصة التي يستخدمها الطلاب في حل المسائل غير الروتينية؟
4.     ما هي العمليات ما وراء المعرفية التي يمارسها الطلاب في أثناء الحل؟
5.     ما هي الصعوبات والممارسات الخاطئة التي تشيع بين الطلاب أثناء حل المسألة الرياضية؟
6.     ما هي اتجاهات الطلاب نحو حل المسألة الرياضية؟
7.     كيف يمكن تنمية قدرة الطلاب على حل المسألة الرياضية؟

حدود (محددات) الدراسة:
-     اقتصرت هذه الدراسة على طلبا الصف الخامس في مدرسة معاذ بن جبل الأساسية للبنين للعام الدراسي 2003/2004 (الفصل الدراسي الثاني) والتابعة لمديرية تربية الرمثا.
-     استخدمت في الدراسة خمسة مسائل غير روتينية تحل بعدة استراتيجيات، (2) من داخل منهاج الرياضيات للصف الخامس الأساسي (3) مسائل من خارج المنهاج (الكتاب). تم اختيار المسائل من قبل الباحث بحيث تُلائم مستوى الطلاب.
-     وكذلك عدة مسائل كثيرة قبل إعطائهم المسائل الخمس ومناقشتهم بالحلول والاستراتيجيات وعمل مقابلات فردية وجماعية لعينة الدراسة وغيرها من الطلاب.

عينة الدراسة وإجراءات العمل:
لتنفيذ هذه الدراسة تم إعطاء جميع طلاب الصف الخامس (أ) مجموعة من المسائل الرياضية الغير روتينية والتي لها استراتيجيات حل مختلفة على مدار أربع أسابيع وبواقع ثلاثة إلى أربعة مسائل كل أسبوع مع تصحيح الإجابات لهم وتوضيح الاستراتيجيات الخاصة لحل كل مسألة بعد إعطائهم الوقت المناسب لحل كل مسألة. وكذلك عمل مقابلات فردية لمناقشة بعض الطلاب بحلولهم وإعطاء بعضهم التوجيهات أثناء الحل أو بعد الحل وكذلك مناقشة الطلاب على السبورة في حل جميع المسائل التي أعطيت لهم وكان يتم ذلك في حصص تم إعطائها بدل مدرسين مجازين أو أثناء فرصة الطلاب وأحياناً كان يخصص بعض الوقت من حصة الرياضيات لتوضيح بعض استراتيجيات حل مسائل معينة وكذلك تم إعطاء بعض المسائل كواجب بيتي.
لقد قام الباحث باختيار خمسة طلاب من طلاب الصف الخامس الأساسي كعينة اعتماداً على ملاحظة الأداء الجماعي للطلبة أثناء حلهم للمسائل وبعد إجراء مقابلات فردية مع أغلب الطلبة وكذلك اعتماداً على المستوى الدراسي حيث حدد المستوى الدراسي لكل طالب بالاعتماد على نتائج الفصل الدراسي الأول وخاصة نتيجة الرياضيات. وكذلك على أداء الفصل الثاني. وهم:

المستوى     الاسم     الرقم
ممتاز     حمزة     1.     
ممتاز     صلاح     2.     
ممتاز     محمد     3.     
جيد جداً     عمار     4.     
جيد     أحمد     5.     
تم تحديد مجموعة من الاستبانات قبل إعطاء طلاب العينة مسائل الاختبار منها (الجدول رقم(1)) وكذلك تم إعطائهم مسائل غير روتينية (الجدول رقم (6)) لتمثل اختبار كمحاولة للإجابة عن الأسئلة السابقة حيث تم إعطاء وقت كافي للطلاب حوالي ساعتان للمسألتين الأولى والثانية المسألة الثالثة ساعة في اليوم التالي وفي اليوم الثالث إعطاء ساعتين للمسألتين الرابعة والخامسة.
كما تم تحديد مجموعة من المحاور لتكون أساساً لملاحظة الطلاب (الجدول رقم (3) والجدول رقم (4))

تحديد أداء الطلبة:
بعد عمل الاختبار على مدى ثلاثة أيام وجمع أجوبة الطلبة على المسائل وتصحيحها وبعد المقابلات الجماعية والفردية، تم إعداد جداول خاصة بأهداف الدراسة (وبالاستعانة بالدراسات السابقة) وهي الجداول (1) (2) (3) (4) والتي توضح أداء الطلبة.
وفيما يلي شرح تفصيلي لأداء الطلبة
استخدام الطلبة لاستراتيجية بوليا العامة:
تم اختيار الطريقة التحليلية وبمجموع (24) علامة لكل مسألة كما هو موضح توزيعها في الجدول رقم (3).
مع ملاحة أن هذه النتائج رصدت ليس الاستراتيجية واحدة بل لمدى استخدام الطالب لعدة استراتيجيات للحل وكذلك بناءاً على المقابلات الفردية للطلاب.
يشير الجدول رقم (3) إن مدى تطبيق الطلاب لاستراتيجية بوليا العامة كان جيداً بكل مراحلها. عند الطلاب ذوي المستوى الدراسي (الممتاز) وكان متوسطاً عند ذوي المستوى الدراسي (جيد جداً) وأقل منه عند ذوي المستوى الدراسي (جيد).
كما ويشير الجدول إلى أن المرحلة الأولى وهي (فهم المسألة) عند الطلبة كان متوسطاً وتمت بعد أن سأل بعض الطلاب عدد من الأسئلة حول المنهاج حيث تم الإجابة عنها من قبل الباحث، أما المرحلتين (وضع خطة للحل) و (تغيير خطة الحل) فكانت جيدة عند الطلبة، وقد لاحظ الباحث في هذه النقطة أن الطالب الذي يختار خطة معينة يقوم بتنفيذها بشكل جيد حيث يشير الجدول إلى تقارب كبير بين علامات (ابتكار خطة الحل) و (تنفيذ خطة الحل) عند جميع الطلاب وعلى اختلاف مستوياتهم.

مدى إدراك الطلاب لأهمية استراتيجية بوليا العامة في الوصول إلى الحل:
عند إعطاء الطلاب عدة مسائل قبل الامتحان وكذلك مسائل الامتحان وبناءاً على المقابلات التي أجريت مع الطلاب تبين أن الطلاب على وعي تام بأهمية خطوات حل المسألة عند بوليا لكن أثناء الامتحان لوحظ أن بعض الطلاب لا يقومون بكتابة خطوات بوليا العامة مع العلم أنهم يستحضرونها أثناء الحل مما أشارت إليه المقابلات. فاحد الطلاب يعزي ذلك إلى الخوف من ضيق الوقت وآخر مستواه ممتاز لا يرى ضرورة لإعادة كتابة المعطيات بحجة أنها موجودة في نفس المسألة. وأحدهم لا يقوم بالتحقق من صحة الحل (عمار) بحجة أنه مقتنع أن خطوات الحل التي يتبعها صحيحة.

الاستراتيجيات الخاصة التي يستخدمها الطلاب في حل المسائل:
كشفت الدراسة كما يبين الجدول رقم (5) أن الطلاب حتى ذوي المستوى \"الممتاز\" لا يملكون اكثر من استراتيجيتين أو ثلاثة استراتيجيات للحل. وأن الطلاب ذوي المستوى لا يملكوهن سوى استراتيجية واحدة أو استراتيجيتين على الأكثر وكما أن الطلاب ذوي المستوى (جيد) لا يمتلكون سوى استراتيجية واحدة على الأكثر وفي بعض الأوقات لا يستطيعون السير ولا خطوة نحو الحل كما هو الطالب رقم ( (5) أحمد) حيث لم يستطع أن يكتب ولا شيء عن المسألة الخامسة وبعد سؤاله عن سبب ذلك أجاب أنه لا يستطيع ذلك.

العمليات ما وراء المعرفية التي يمارسها الطلاب أثناء الحل:
تم تحديد أربع عمليات رئيسية كما يشير الجدول رقم (4)، وبعد رصد العمليات التي يستخدمها الطلاب – عن طريق الملاحظة الفردية- كما يشير الجدول رقم (4) وجد أن أكثر هذه العمليات ظهوراً بين الطلاب هي عملية التخطيط والترتيب والتنظيم يليها عملية التنفيذ وإجراء العمليات ثم عملية إدارة وتوجيه المعلومات وأقلها ظهوراً عملية مراجعة الحل والتحقق منه.
وبالرجوع إلى الملاحظات التي رصدت عن كل طالب وجد أن أغلب هذه العمليات ظهرت عند الطلاب ذوي المستوى (الممتاز) وقليلاً عند ذوي المستوى (جيد جداً) ولا تكاد تظهر كثيراً عن ذوي المستوى (الجيد).

الصعوبات والممارسات الخاطئة التي تشيع بين الطلاب أثناء حل المسألة:
-     لقد وجد الباحث أثناء الدراسة تأخر في الإجابات عن الأسئلة لدى الطلبة وعزى الباحث أسباب ذلك لوجود ضعف في قدرة الطلبة على تحليل الأسئلة وتفكيكها كذلك لجوء بعض الطلاب لاستراتيجية المحاولة والتعديل خاصة في المسألة الثانية والثالثة والخامسة والتي استغرقت وقت كثير مما أثر على بقية الأسئلة وعلى وقت الاختيار.
-     كذلك ملاحظة عدم تذكر الطلاب للعمليات السابقة والتي أخذت قبل فترة بسيطة مثل العمليات الأربعة على الكسور في المسألة الثانية ومثل عملية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر التي قدمت لهم في الفصل الأول من هذا العام كما في المسألة الأولى. وقد اتفقت هذه الملاحظة مع دراسة (Ballew and Cunnigngham, 1982).
-     كذلك عدم استخدام التبرير المنطقي أثناء استخدام بعض الاستراتيجيات كما في المسألة الثانية والثالثة. وكذلك قدرة الطالب على التقدير ) (Hall, 1976).
-     كذلك ملاحظة أن بعض الطلبة يواجه صعوبة من فهم المسألة ويرجع ذلك إلى أسلوب صياغة المسألة ونوع المطلوب فيها (مصطفى، 1988)، ويعزى أيضاً إلى ضعف قدرات الطلاب القرائية وعدم معرفته بالمفردات اللغوية في المسألة ويتفق ذلك مع دراسة (Kagon and Lang, 1978) حيث لوحظ ذلك في المسألة الأولى.
-     ويمكن أن تخلص مما سبق أن معظم الصعوبات والممارسات الخاطئة التي يواجهها الطلبة في حل المسائل الرياضية تعود إلى الأسباب التالية:
1.     ضعف حصيلة المفردات اللغوية لدى الطلبة مما يؤدي إلى الإخفاق في استيعاب المسألة.
2.     ضعف القدرة على التحليل والربط
3.     عدم التمكن جيداً من بعض العمليات.
4.     ضعف قدرة الطالب على التخمين والتقدير والتبرير المنطقي.
5.     الاعتقاد بأن هناك طريقة واحدة للحل، كما بين الجدول رقم (5) لم يستخدم طالب واحد أي استراتيجية كمحاولة للوصول إلى الحل. وثمانية طلاب لم يستخدموا إلا استراتيجية واحدة فقط.

اتجاهات الطلاب نحو حل المسألة الرياضيةك
تم تحليل اتجاهات الطلبة نحو حل المسألة على النحو التالي:
1.     قبل الاختبار الجدول رقم (1):
-     اتجاهات إيجابية نحو مادة الرياضيات
-     شعور بثقة ورضا وهدوء اتجاه حل المسألة
-     لا يوجد رغبة كبيرة في استخدام طرق مختلفة لحل المسألة
2.     بعد الاختبار الجدول رقم (2:)
-     بقيت الاتجاهات إيجابية نحو مادة الرياضيات
-     ازداد الشعور بالثقة والرضا والهدوء اتجاه حل المسألة نوعاً ما.
-     ظهر ازدياد رغبة الطلاب في استخدام طرق مختلفة لحل المسألة.
وبالرجوع إلى الاستبانيات الخاصة بكل طالب وجد أن أغلب الاتجاهات الإيجابية كانت عند الطلاب من ذوي المستوى (ممتاز) وأقلها ذوي المستوى (جيد جداً) وأقلها كثيراً عند ذوي المستوى جيد.


الاستنتاجات والتوصيات
في نهاية هذه الدراسة لا بد أن نبني ما هي الاستنتاجات التي حصلنا عليها وما هي التوصيات التي توجه إلى الطلاب وإلى قواد العملية التعليمية لتلاقي الأخطاء والنهوض بما يخدم الطلاب من معرفة وتحقيق الأهداف التعليمية.

الاستنتاجات:
·     اتجاه جميع الطلبة إيجابية بشكل عام نحو حل المسألة الرياضية.
·     تزداد العمليات ما وراء المعرفية عند ذوي المستوى التحصيلي العالي.
·     يوجد صعوبات وممارسات خاطئة وخاصة عند ذوي مستوى التحصيل المتدني.
·     الطلاب على وعي بأهمية استخدام استراتيجية بوليا العامة.
·     وجود علاقة بين المستوى التحصيلي وتنوع استراتيجيات الحل.
·     وجود حب للمسائل التي من نوع الألغاز وخاصة المسألة الخامسة.

التوصيات:
- للطالب:
هذه بعض النصائح للطلاب لتنمية قدراتهم على حل المسألة:
-     إقبل التحدي
-     أعد كتابة المسألة بلغتك الخاصة
-     أعط نفسك فرصة راحة
-     تحدث مع نفسك وحاورها في حل المسألة
-     تخص من حكم العادة أو التثبت بنموذح حل فاشل
-     انظر إلى المسألة من جهات مختلفة
-     كثيراً من المسائل تحل بأكثر من طريقة
-     لا تتردد في تغيير الطريقة الخاطئة
-     نظم إجابتك باستخدام خطوات حل المسألة لبوليا
-     الخبرة في حل المسألة مفيدة لذلك حل أكبر عدد من المسائل
-     إبحث عن مفتاح الحل
-     أوجد الرابط بين المعطيات والمجهول
-     ضع لنفسك مسائل
-     اكتب الحل بشكل واضح تماماً
-     صغ نفسك فحل المسألة خبرة جيدة
-     تأكد من معقولية الحل

للمعلم:
-     أنت القدوة
-     ساعد الطالب على التكيف مع المسألة والتحلي بروح التفكير والتأمل والصبر.
-     شجع على إعادة صياغة المسألة وتذكر واستحضار الأفكار والمعلومات اللازمة لحل المسألة.
-     ساعد الطالب على رسم المسألة وتوضيحها بالأشكال أو إنشاء نموذج يوضحها.
-     غير من أسلوبك وطريقة تدريسك واستخدم استراتيجيات مختلفة للوصول إلى الحل.
-     لا بد من خلق بيئة حل المشكلة داخل الصف ليتعود الطالب على المسائل غير الروتينية، وهذا لا يتحقق إلاّ بوجود أكبر عدد ممكن من المسائل غير الروتينية ومسائل الألغاز. د
-     لا تفرض على الطالب خطة حل معينة بل دعه يبتكرها بنفسه، لذلك فإن إعطاء الطالب خطة جاهزة للحل ليس طريقة سليمة لتدريب الطلاب على حل المسألة.
-     اهتم بميول الطالب واتجاهاته واحترام آرائه ولا تتسرع في إصدار الحكم على تصرفاته.
-     إعطاء الطالب وقت كاف لكي يقوموا بحل المسائل وذلك للتأكد من حلولهم ولاختيارهم الطرق التي يجدونها مناسبة.
وأخيراً كما يقول بوليا فإن حل المسألة عبارة عن قفزة في الهواء. فمتع نفسك فحل المسألة خبرة جيدة.

المراجع
-     أبو ذينة، فريد، مناهج الرياضيات المدرسة وتدريسها، الإمارات، مكتبة الفلاح، 1994.
-     الأمين، إسماعيل، طرق تدريس الرياضيات، القاهرة، دار الفكر العربي، 2001.
-     عابد، عدنان. القواسمة عبد الرحيم، أساليب تدريس الرياضيات، عمان، 1989.
-     عقيلان، إبراهيم، مناهج الرياضيات وأساليب تدريسها، عمان، دار المسيرة، ط1، 200.
-     عابد، عدنان، طرائق وأساليب تدريس الرياضيات (1)، عمان، جامعة القدس المفتوحة.
-     Polya, G. Haw to solve It. Princeton university press, 1957.
-     Van De walle, Elemintary school mathematices: Teaching Developmentally, (2nd Ed.) longman, 1994.

ملحق الجداول

*جدول رقم (1): اتجاهات الطلاب نحو حل المسألة
(قبل الاختبار)
غير موافق بشدة     غير موافق     محايد     موافق بشدة     موافق      الإجابة الفقرة
النسبة     العدد     النسبة     العدد     النسبة     العدد     النسبة     العدد     النسبة     العدد     
                              20%     1     80%     4     1.     الرياضيات مادة ممتعة
          20%     1               20%     1     60%     3     2.     دائماً اشعر بسعادة عند قيامي بحل مسائل الرياضيات
                    20%     1     20%          60%     3     3.     أعتقد أنني أفكر جيداً وأنا اقوم بحل مسائل الرياضيات.
          80%     4                         20%     1     4.     عندما لا أستطيع حل مسألة رياضية كأنني غارق في بحر من الرموز والألفاظ والكلمات ولا أستطيع أن أجد طريقي خارجاً من هذا البحر.
20%     1     60%     3     20%     1                         5.     إن عقلي لا يعمل عندما أفكر في مسائل الرياضيات.
                    20%     1     20%     1     60%     3     6.     أعتقد أنني أشعر بثقة عندما أبدأ في حل مسائل الرياضيات
20%     1     40%     2     40%     2                         7.     أشعر دائماً انني أحب أن أبتعد عن مسائل الرياضيات.
40%     2     40%     2                         20%     1     8.     مسائل الرياضيات دائماً تخيفني.
          20%     1     20%     1     20%     1     40%     2     9.     أشعر بهدوء عند حل مسائل الرياضيات.
          20%     1               20%     1     60%     3     10.     أشعر بالرضا عند حل مسائل الرياضيات.
40%     2     40%     2     20%     1                         11.     محاولة حل بعض مسائل الرياضيات تجعلني عصبي.
                              60%     3     40%     2     12.     أعتقد أنني اشعر بثقة خاصة عند حل مسائل الرياضيات
          20%     1     20%     1     20%     1     40%     2     13.     استخدم طرق مختلفة لحل المسألة.
* مأخوذة من دراسة سابقة عن:
حسن سلامة: طرق تدريس الرياضيات بين النظرية والتطبيق، ص ص: 403-404

*جدول رقم (2): اتجاهات الطلاب نحو حل المسألة
(بعد الاختبار)
غير موافق بشدة     غير موافق     محايد     موافق بشدة     موافق      الإجابة الفقرة
النسبة     العدد     النسبة     العدد     النسبة     العدد     النسبة     العدد     النسبة     العدد     
                                        100%     5     1.     الرياضيات مادة ممتعة
                              40%     2     60%     3     2.     دائماً اشعر بسعادة عند قيامي بحل مسائل الرياضيات
                              20%     2     60%     3     3.     أعتقد أنني أفكر جيداً وأنا اقوم بحل مسائل الرياضيات.
20%     1     40%     2     40%     2                         4.     عندما لا أستطيع حل مسألة رياضية كأنني غارق في بحر من الرموز والألفاظ والكلمات ولا أستطيع أن أجد طريقي خارجاً من هذا البحر.
60%     3     20%     1     20%     1                         5.     إن عقلي لا يعمل عندما أفكر في مسائل الرياضيات.
          20%     1     20%     1               60%     3     6.     أعتقد أنني أشعر بثقة عندما أبدأ في حل مسائل الرياضيات
40%     2     40%     2     20%     1                         7.     أشعر دائماً انني أحب أن أبتعد عن مسائل الرياضيات.
20%     1     40%     2     20%     1               20%     1     8.     مسائل الرياضيات دائماً تخيفني.
                              20%     1     80%     4     9.     أشعر بهدوء عند حل مسائل الرياضيات.
                              20%     1     80%     4     10.     أشعر بالرضا عند حل مسائل الرياضيات.
          40%     2               20%     1     40%     2     11.     محاولة حل بعض مسائل الرياضيات تجعلني عصبي.
                              80%     4     20%     1     12.     أعتقد أنني اشعر بثقة خاصة عند حل مسائل الرياضيات
                              20%     1     80%     4     13.     استخدم طرق مختلفة لحل المسألة.
* مأخوذة من دراسة سابقة عن:
حسن سلامة: طرق تدريس الرياضيات بين النظرية والتطبيق، ص ص: 403-404

جدول رقم (3) مدى استخدام الطلاب لاستراتيجيات بوليا العامة
المجموع (24) علامة     مراجعة الحل     تنفيذ خطة الحل     ابتكار خطة الحل     فهم المسألة     استراتيجية بوليا العامة الطالب/ المسألة
     مراجعة صائبة تماماً (4)      مراجعة صائبة تماماً     لا يوجد مراجعة للحل (0)     تنفيذ صائب تماماً (8)     تنفيذ صائب جزئياً (4)     لا يوجد تنفيذ لخطة الحل (0)     الخطة صائبة تماما     الخطة صائبة جزئياً (0 )     لا توجد خطة للحل (8 )     فهم كامل للمسألة (4 )     فهم ناقص للمسألة (2 )     لا يوجد ما يدل على فهم المسألة (0 )     
20               0     8               8               4               المسألة الأولى     حمزة
24     4               8               8               4               المسألة الثانية     
14          2               4               4          4               المسألة الثالثة     
20     4                    4          8               4               المسألة الرابعة     
16     4                    4               4          4               المسألة الخامسة     
المجموع الكلي (94) المعدل المئوي (78.33)     
20                    0     8          8               4               المسألة الأولى     صلاح
22               2          8          8               4               المسألة الثانية     
14               2               4          4          4               المسألة الثالثة     
20          4                    4     8               4               المسألة الرابعة     
16          4                    4          4          4               المسألة الخامسة     
المجموع الكلي (92) المعدل المئوي (76.67)     
20               0     8               8               4               المسألة الأولى     محمد
20     4                    4          8               4               المسألة الثانية     
12               0          4               4          4               المسألة الثالثة     
18          2               4          8               4               المسألة الرابعة     
24     4               8               8               4               المسألة الخامسة     
المجموع الكلي( 94) المعدل المئوي (78.33)     
16               0          4          8               4               المسألة الأولى     عمار
18               0     8               8                    2          المسألة الثانية     
12               0          4               4          4               المسألة الثالثة     
20               0     8               8               4               المسألة الرابعة     
14     4                    4               4               2          المسألة الخامسة     
المجموع الكلي(80) المعدل المئوي (66.67)     
10               0          4               4               2          المسألة الأولى     أحمد
12          2               4               4               2          المسألة الثانية     
10               0          4               4               2          المسألة الثالثة     
14     4                    4               4               2          المسألة الرابعة     
2               0               0               0          2          المسألة الخامسة     
المجموع الكلي (48) المعدل المئوي (40.0)     

جدول (4): العمليات ما وراء المعرفية التي يستخدمها الطلاب
النسبة المئوية العامة     النسبة المئوية     عدد الطلاب الكلي     الخامسة     الرابعة     الثالثة     الثانية     الأولى      المسألةالعمليات ما وراء المعرفية
               النسبة المئوية     عدد الطلاب     النسبة المئوية     عدد الطلاب     النسبة المئوية     عدد الطلاب     النسبة المئوية     عدد الطلاب     النسبة المئوية     عدد الطلاب     
44%     24%     6     40%     2                         40%     2     40%     2     1.     إعادة صياغة المسألة     إدارة وتوجيه المعلومات
     76%     19     60     3     80%     4     60%     3     100%     5     80%     4     2.     تحديد المعطيات والشروط والمطلوب     
     20%     5     40%     2                                   60%     3     3.     تمثيل أولي للمسألة     
     32%     8     40%     2     60%     3     60%     3                         4.     تذكر الخبرات السابقة في المواقف المشابهة     
     68%     17     60%     3     80%     4     60%     3     60%     3     80%     4     5.     قياس مدى ألفة المسألة     
68%     68%     17     60%     3     80%     4     80%     4     60%     3     60%     3     6.     تنظيم وترتيب الأفكار     التخطيط والترتيب والتنظيم
     80%     20     80%     4     100%     5     60%     3     80%     4     80%     4     7.     التخطيط بشكل جزئي     
     56%     14     40%     2     60%     3     60%     3     60%     3     60%     3     8.     التخطيط بشكل كلي     
59%     68%     17     60%     3     60%     3     80%     4     80%     4     60%     3     9.     البدء بالتنفيذ من نقطة معينة     التنفيذ وإجراء المعلومات
     48%     12     40%     2     40%     2     40%     2     60%     3     60%     3     10.     عرض الأفكار والخطط     
     60%     15     60%     3     60%     3     60%     3     60%     3     60%     3     11.     اتخاذ القرار المناسب     
37%     64%     16     40%     2     60%     3     60%     3     80%     4     60%     3     12.     النظر إلى المسألة نفسها     مراجعة الحل والتحقق منه
     44%     11     40%     2     60%     3     60%     3     20%     1     40%     2     13.     تقييم خطة الحل     
     44%     11     40%     2     60%     3     60%     3     20%     1     40%     2     14.     تقييم الخطط والنتائج الجزئية